狗到底能不能追上兔子？----第二次数学危机的诱因之一

在我上大学一年级的时候，教《数学分析》课的谢老师在课堂上问我们：一只兔子遇到一只狗，兔子沿着一条直线往前跑，狗能不能追上兔子？

大家议论纷纷，最后统一的意见是：要看兔子和狗谁跑的快，如果兔子跑地快，狗追不上兔子，如果狗跑地快，狗就能追上兔子。这是生活常识嘛！

老师微微一笑，告诉我们说，他可以证明即便狗跑的快，也追不上兔子。老师是这样论证的：假定狗的速度是兔子速度的两倍，狗和兔子互相发现对方后，兔子沿着一条直线往前跑，狗以兔子两倍的速度在后面追，狗要追上兔子，先要到达兔子的起点位置，这时，兔子已经离开了原地向前跑了一段到达新的第二个位置；狗接着追，兔子继续往前跑，狗要追上兔子，就要先到达兔子的第二个位置，而这时兔子已经跑到新的第三个位置上去了。这样一直下去，狗要追上兔子，首先要达到兔子目前所在的位置，而当狗到达到这个位置时，兔子已经往前跑到了一个新位置。因此，狗永远追不上兔子！

这个时候，我们开始困惑了，明知老师的这种论证不合常理，但从逻辑推理上看，又找不出什么漏洞。

最后老师告诉我们说：“我知道你们心里一定认为我在诡辩，但我告诉你们，这不是诡辩，而是数学上的一个著名悖论，你们真正要搞清楚这个问题，就要好好学习我这门课，等你们学习结束了，再回过头来想想这件事，也许就搞清楚了”。

一个好的老师，不仅仅单纯地传授知识，还要注意适时激发学生的好奇心，增强学生的学习动力，我们老师做到了。

随着后来的学习，我发现我们老师在课堂上讲的狗追兔子的问题，是古希腊著名哲学家芝诺（约公元前490年-前425年）曾提出的“阿基里斯永远追不上乌龟”悖论的本土化。阿基里斯是古希腊神话传说中半人半神的英雄。他英勇无比，除了脚踵部之外，具有刀枪不入的金刚之身，自然跑得也极快。他后来被太阳神阿波罗用毒箭射中脚踵而死。芝诺告诉大家，阿基里斯虽然跑得快，但永远追不上在他前面一直爬行的乌龟。其论证方法和上面我们老师讲过的狗追不上兔子的是一样的。

“阿基里斯永远追不上乌龟”，这悖论也是导致数学史上发生的第二次数学危机的诱因之一。如果你有耐心，请接着往下看。

十七世纪，随着生产力的不断提高和科学技术的发展，当时传统的数学已经不能满足科学研究的需要了。举物理上的两个简单的例子， 第一个是求变速直线运动的瞬时速度问题。在小学，我们就经常计算速度问题，速度就是物体在一定时间内经过的路程除以时间，即单位时间内经过的路程。但其实这样计算的速度是平均速度。对于基本上是匀速直线运动的问题，这样计算是没有问题的。但对于变速直线运动问题，比如象物理学家加利略那样从斜塔上丢下一个铁球，铁球做自由落体运动，那么计算出来铁球从开始下落到落地的平均速度是基本上没有什用处的，因为铁球在下落的过程中速度是越来越大，时刻都在变化。现在我们知道自由落体运动的路程s和时间t的关系是s=1/2gt^2，这里g是常数，重力加速度。那么每一个时刻的瞬时速度怎样计算呢？

另一问题是物理上功的计算问题。在中学物理学习中我们知道，作用在物体上的一个常力，当力的方向和物体运动的方向一致时，该力对物体所作的功等于力乘以物体移动的距离。但当作用到物体上的力忽大忽小，不断变化时，变力作功该如何计算呢？

1665年，英国伦敦突发鼠疫，离伦敦不远的剑桥大学因此全校停课放假，在该校读研究生22岁的牛顿被迫离开学校回到了乡下，专心致力于科学研究。

后来经典物理学三大定律，光学定律等重要的物理发现都是他在1665年-1666年这两年内发现的。和这些重要的物理发现价值可能更大是，牛顿在研究物理问题的过程中，还创立了一套新的数学工具-微积分。

针对计算瞬时速度问题，牛顿建立了导数（微分）的概念和计算方法，针对变力作功等类似问题，他建立了积分的概念和计算方法。1665年11月，他发明正流数术(微分法)，次年5月建立反流数术(积分法)。1666年10月，牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文—《流数简论》，这也是历史上第一篇系统的微积分文献，标志着微积分的诞生。

另外，和牛顿处于同一时代的德国数学家莱布尼茨，主要从切线的斜率，曲边图形的面积等几何问题出发，独立地发明了微积分。后来，人们在牛顿和莱布尼茨在谁是微积分的第一发明人的问题上有过争论，并最后上升到英国和欧洲大陆之间的激烈争论，数百年之后才平息下来。此事我们先按下不表。

微积分出现之后，人们非常兴奋，因为原来非常困难的问题，现在利用微积分可以比较容易的解决了。牛顿也因此在英国成为著名人物。但也有不少人对微积分有诸多质疑甚至强烈攻击。主要原因是微积分在创立初期，理论基础很不稳固，基本概念和推导过程还非常不完善。比如导数（流数），牛顿把它定义为：因变量的无穷小增量除以自变量的无穷小增量，计算和化简之后再让无穷小增量等于零。对此，1734年，英国大主教贝克莱出了一本书，题目很长：《分析学者，或致一个不信教的数学家。其中审查现代分析的对象、原则与推断是否比之宗教的神秘与教条， 构思更为清楚， 或推理更为明显》在这本书中，贝克莱对微积分学说进行了猛烈的抨击。他说牛顿先认为无穷小量不是零，然后又让它等于零，这违背了背反律，并且所得到的流数实际上是0/0, 是“依靠双重错误，你得到了虽然不科学却是正确的结果”，这是因为错误互相抵偿的缘故。在数学史上，称之为“贝克莱悖论”。

贝克莱

屋漏偏逢连夜雨。这个时候，人们又把古希腊数学和哲学家芝诺曾提到的四个著名悖论拿出来凑热闹。芝诺的四个悖论如下：

第一个悖论，“二分法”。运动着的东西在到达目的地之前须先完成行程的一半，而在完成行程的一半后，还须完成行程的一半的一半……如此分割，乃至无穷，因而它与目的地之间的距离是无限的，永远也达不到目的地。

第二个悖论，就是前面提到过的“阿基里斯永远追不上乌龟”。第三个悖论，“飞矢不动”。任何物体都要占有一定的空间，离开自己的空间就意味着失去了它的存在。飞矢通过一段路程的时间可被分成无数瞬间，在每一瞬间，飞矢都占据着一个与自己大小相同的空间，由于飞矢始终在自己的空间之中，因而它是静止不动的。

第四个悖论，“运动场”。有两排物体，大小相同，数目相等，一排从终点排到中间点，另一排从中间点排到起点，当它们以相同的速度作方向相反的运动时，就会在时间上出现矛盾。

芝诺认为这可以证明一半的时间等于一倍的时间。微芝诺悖论和早期微积分的理论基础存在的问题，其实就体现在人们如何看待对有限时空的无限可分性，运动和静止，直和曲的辩证关系等认识方法论的基本问题。但在当时条件下，这些问题并不能很好得到解决，因此在学术界引发了一定程度的思想混乱，从而爆发了第二次数学危机。

危机虽然存在，但因为微积分的作用太神奇太强大了， 让人们放弃它是不可能的。更重要的是，人们在实际应用中， 也没有发现微积分会导致错误的结果。这样一来，对微积分出现了两种对待方式， 一部分人的态度是，管它基础是否牢靠，好用就行了； 还有另外一些数学家，在不断尝试，从各种不同的角度进行研究、探索，试图把微积分重新建立在可靠的基础之上。

150年后，法国数学家柯西通过《分析教程》（1821）、《无穷小计算讲义》（1823）、《无穷小计算在几何中的应用》（1826）这几部著作，建立起以极限为基础的现代微积分体系。德国数学家魏尔斯特拉斯是数学分析基础的主要奠基者之一，他改进了波尔查诺、阿贝尔、柯西的方法，首次用“ε—δ”方法叙述了微积分中最重要工具极限理论， 建立了该学科的严格体系。“ε—δ”方法的提出和应用于微积分，标志着微积分算术化的完成。为了建立极限理论的基本定理，还需要建立关于实数完备性的一套实数理论。1860年，魏尔斯特拉斯提出用递增有界数列来定义无理数，1872年，戴德金提出用分割来定义无理数，1883年，康托尔提出用基本序列来定义无理数。三人通过不同的方式，都能建立一套严谨的实数理论并证明实数系是完备的。至此，第二次数学危机宣告彻底结束了，微积分在科学研究和经济生活中不可动摇的地位就完全确立下来了。

危机危机，有危就有机。整体来看，第二次数学危机对人类带来的影响是十分正面的。这次危机，促使人们对有关数学问题和相关哲学问题进行了更深入的探索和思考，使人们在数学和科学研究方面取得了极大的进步。